感應(yīng)加熱淬火是機械加工中一項至關(guān)重要的工藝。相關(guān)研究表明，傳動零件失效的主要原因是由于表面損壞造成的，例如齒輪的失效主要源于齒面磨損、齒面點蝕和輪齒折斷等。因此，采用合適的工藝對零件進行表面淬火，增加零件表面的硬度和耐磨損程度對提高機械設(shè)備的壽命和可靠性具有重要意義。感應(yīng)加熱淬火相比于傳統(tǒng)的淬火方式具有操作簡便、加熱速度快、能源利用率高，更加節(jié)能環(huán)保等優(yōu)勢，因此廣泛用于我國的機床制造、汽車、工程機械和石油機械等領(lǐng)域。隨著“碳達峰、碳中和”目標的提出，企業(yè)更加重視節(jié)能環(huán)保，此外國家針對感應(yīng)加熱也提出了相應(yīng)的電耗定額。為了實現(xiàn)更高的能源利用效率，需要借助于計算機模擬仿真技術(shù)對感應(yīng)加熱裝置進行設(shè)計與優(yōu)化。通過電磁-熱多物理耦合仿真計算得到工件內(nèi)渦流分布和溫度場分布，根據(jù)溫度場隨時間的變化過程可以了解感應(yīng)加熱的效果，以此為依據(jù)可以對感應(yīng)加熱頻率、激勵線圈幾何形狀、激勵線圈與工件的相對位置等參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計。有關(guān)感應(yīng)加熱的數(shù)值模擬方法已有很多研究，張根元等基于ANSYS模擬了感應(yīng)淬火過程中電流密度、電流頻率和加熱時間對淬火工藝參數(shù)的影響，黃軍等利用ANSYS仿真研究了不同感應(yīng)電流頻率的組合對無縫鋼管加熱速度的影響，張鵬飛等利用Maxwell 3D軟件建立了帶鋼電磁-熱耦合模型，研究了加熱線圈的電流和頻率對帶鋼溫度的影響。以上基于商業(yè)軟件的仿真分析為感應(yīng)加熱過程的優(yōu)化提供了指導(dǎo)，然而如何改進多物理耦合計算方法，以便進一步提高計算效率，還需要更多的研究。
本文基于自主開發(fā)的電磁及多物理仿真平臺 EMPbridge，對齒輪感應(yīng)淬火中涉及的電磁-熱多物理耦合過程進行了仿真，考慮了材料參數(shù)隨溫度的變化，采用頻域、時域相結(jié)合的方法提高了計算效率，為后續(xù)進一步開發(fā)感應(yīng)加熱專用仿真和優(yōu)化軟件提供了參考。
一、感應(yīng)加熱過程的電磁-熱多物理耦合分析
電磁場數(shù)學(xué)模型：感應(yīng)加熱中涉及渦流損耗的計算，需要求解磁準靜態(tài)場，其微分方程形式如下：
式中：E為電場強度(V·m-1) ；H為磁場強度(A·m-1)；D為電位移矢量(C·m-2)；B為磁感應(yīng)強度(Wb·m-2)；ρe為電荷密度(C?m-3)；J為電流密度(A·m-2)。
由本構(gòu)關(guān)系和電流密度的定義可以得到材料特性與電磁場的關(guān)系：
式中：μ為磁導(dǎo)率，σ為電導(dǎo)率，本文中它們是隨溫度變化的參數(shù)，其變化曲線通常通過測量得到。
由于感應(yīng)加熱的激勵電流一般為正弦電流，假定材料參數(shù)不隨磁場和電場變化，上式可以寫為復(fù)數(shù)形式在頻域求解：
式中：帶上標的
分別表示各場量的復(fù)數(shù)形式，ω為激勵電流的角頻率。
結(jié)合相應(yīng)的邊界條件，在頻域中求解以上磁準靜態(tài)場問題，即可得到在感應(yīng)加熱頻率下激勵電流在齒輪工件中產(chǎn)生的渦流分布，進而得到相應(yīng)的渦流損耗。
熱場數(shù)學(xué)模型：感應(yīng)加熱過程中的熱場由瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程描述：
式中：ρ為密度(kg?m-3)；Cp為比熱容(J?kg-1?K-1)；T為溫度(K)；λ為導(dǎo)熱系數(shù)(W?m-1?K-1)；Q為熱源密度(W?m-3)。熱源來自于感應(yīng)渦流產(chǎn)生的渦流損耗，其表達式為：
結(jié)合邊界條件和溫度的初始條件，在時域中求解以上熱擴散方程，可以得到各個時刻對應(yīng)的溫度場分布。
電磁-熱多物理耦合過程：感應(yīng)加熱中涉及的電磁-熱多物理耦合過程為雙向耦合，即交變電磁場在工件中感應(yīng)出渦流，渦流損耗作為熱源引起溫度場的變化，溫度場變化進一步引起材料參數(shù)的變化，而材料參數(shù)的變化又導(dǎo)致電磁問題中渦流場分布的變化，其耦合示意圖如圖 1所示。
圖1 感應(yīng)加熱中電磁-熱雙向耦合示意圖
感應(yīng)加熱的激勵頻率在數(shù)十kHz數(shù)量級，對應(yīng)的時間變化周期在數(shù)百微秒左右，而加熱時間卻需要數(shù)秒才能完成，兩者相差四個數(shù)量級，若以適應(yīng)電磁場變化快慢的時間步進行離散，則總體的時間步數(shù)將過于龐大。為解決此多時間尺度問題，在本仿真計算中，電磁場問題在頻域中求解，熱場問題在時域中進行求解，其耦合求解過程如圖2所示，即首先在求解區(qū)域給定一個初始溫度分布并根據(jù)初始溫度時的材料參數(shù)計算初始時刻。(t=t0)時的頻域電磁場，獲得渦流分布，然后將渦流損耗作為熱源代入，計算時間步長為△t的時域熱場問題，得到t1時刻的溫度場分布。根據(jù)此溫度場分布，結(jié)合材料參數(shù)(μ，σ)隨溫度變化的曲線，可以得到t1時刻溫度變化后的材料參數(shù)。由于材料參數(shù)的變化，渦流分布也相應(yīng)變化，因此t1時刻的電磁場需要利用新的材料參數(shù)重新計算，并得到新的渦流損耗，以代入熱場方程計算下一時刻的溫度場分布。之后的過程依此類推，直到到達瞬態(tài)熱場設(shè)置的仿真時長為止。
圖2 電磁-熱耦合求解過程示意圖
值得注意的是，此過程為顯式算法，即下一時間步的解可以通過前一時間步的解直接計算得到，因此時間步長的取值不能太大，否則單個時間步內(nèi)溫度變化太大會導(dǎo)致材料參數(shù)無法滿足線性近似條件。同樣，時間步長也不宜選取得過小，否則將增加不必要的計算量和計算時間。可根據(jù)某時刻磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率的梯度決定時間步長的大小，梯度大(材料參數(shù)變化快)時時間步長小，反之，時間步長大。
二、齒輪淬火數(shù)值分析算例
齒輪淬火仿真模型的建立：如圖3所示，利用EMPbridge平臺建立齒輪的幾何模型。齒輪的幾何尺寸采用模數(shù)為2.5的齒輪，齒數(shù)為26，可以計算得到齒輪的直徑約為65 mm。
圖3齒輪幾何模型示意圖
齒輪的材料是常用的45#鋼，其通過測量得到磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率參數(shù)隨溫度的變化如圖4所示。
圖4 45# 鋼材料參數(shù)隨溫度的變化
對齒輪進行網(wǎng)格剖分時，需要將渦流透入深度的大小作為網(wǎng)格剖分尺寸的參考。渦流透入深度δ由感應(yīng)加熱頻率、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率共同決定，其計算公式為：
仿真中選用的感應(yīng)加熱電流頻率為50kHz，在室溫20℃時，根據(jù)圖4查到的相對磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率可以計算得到渦流透入深度約為：0.07 mm。當工件升溫至900℃時，由于溫度已經(jīng)高于居里溫度，工件快速退磁，相對磁導(dǎo)率下降到1左右，且電導(dǎo)率也隨溫度下降，此時的渦流透入深度增加到2.4mm左右。在透入深度范圍內(nèi)渦流幅值成指數(shù)形式下降，因此在齒輪表面透入深度范圍內(nèi)需要對網(wǎng)格進行精細剖分。如圖5所示，在齒輪的齒部進行精細剖分，而在遠離齒輪邊緣的部分采用相對較粗的網(wǎng)格剖分尺寸。
圖 5 齒輪網(wǎng)格剖分示意圖
渦流與溫度場的變化規(guī)律：隨著感應(yīng)加熱過程的進行，齒輪齒部的溫度逐漸上升，而溫度的上升將引起材料參數(shù)的改變，從而導(dǎo)致渦流場分布產(chǎn)生變化。如圖6(a)所示，在初始時刻，溫度為室溫，渦流透入深度很淺，渦流場集中于齒輪邊緣。
當齒輪齒根部位的溫度上升到700T時，此時的材料的磁導(dǎo)率到達居里溫度附近，根據(jù)圖4(b)的曲線可知，到達居里點后溫度的小幅升高將導(dǎo)致磁導(dǎo)率的大幅下降，此時透入深度增加，渦流場分布向齒輪內(nèi)部擴散，如圖6(b)所示。
隨著感應(yīng)加熱的進一步進行，齒輪的整個齒部都已經(jīng)升溫至居里溫度以上，此時渦流分布再次沿齒輪外沿分布，但是透入深度增加到2.4mm左右，如圖6(c)所示。
圖6 渦流分布隨溫度的變化趨勢
由以上結(jié)果可見，渦流分布隨溫度的上升而變化，并反過來影響溫度的分布，因此感應(yīng)加熱過程需要考慮電磁-熱的雙向耦合過程。
齒輪材料參數(shù)隨溫度的變化：由于感應(yīng)加熱過程中，齒輪齒部的溫度高，而齒輪內(nèi)部的溫度低，因此齒輪不同部位的材料參數(shù)并不一致，而是與溫度場的分布相關(guān)。如圖7所示，在加熱過程中，溫度高的部位，磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率下降明顯，而齒輪內(nèi)部由于溫度升高不明顯，其材料參數(shù)與室溫時基本相同。對比圖6(b)和圖7可以進一步印證1.3節(jié)中所闡述的電磁-熱雙向耦合過程。圖7中齒根部位的溫度升高導(dǎo)致此區(qū)域的磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率大幅下降，根據(jù)公式(10)可知透入深度將升高，觀察圖6(b)可以發(fā)現(xiàn)齒根部位的電流密度升高，渦流透入齒輪齒根部位。
圖 7 齒輪材料參數(shù)隨溫度的分布
三、結(jié)論
本文針對齒輪淬火加熱的實際工程問題，對感應(yīng)加熱中涉及的多時間尺度電磁-熱多物理耦合過程進行了剖析。在仿真中考慮了電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率參數(shù)隨溫度的非線性變化，闡述了利用頻域-時域混合的方法對電磁-熱雙向耦合問題進行仿真計算的方法。通過分析仿真結(jié)果，給出了渦流場分布受熱場分布影響的規(guī)律，為齒輪感應(yīng)加熱的優(yōu)化設(shè)計提供了參考。
參考文獻略.